Exercice 18, § 6

a) Soit $g$ une algèbre de Lie simple. Toute forme bilinéaire invariante sur $g$ est soit nulle, soit non dégénérée. Si $K$ est algébriquement clos, toute forme bilinéaire invariante $\beta$ sur $g$ est proportionnelle à la forme de Killing $\beta_0$. (Considérer l’endomorphisme $\sigma$ de l’espace vectoriel $g$ défini par $\beta(x, y) = \beta_0(\sigma x, y)$, et montrer que $\sigma$ permuté aux $\mathrm{ad}_g x$, donc est scalaire.) Montrer que ce résultat peut être en défaut si $K$ n’est pas algébriquement clos. (Utiliser l’exerc. 17, et le fait que la dimension de l’espace des formes bilinéaires invariantes ne change pas par extension du corps de base.)

b) Soit $g$ une algèbre de Lie semi-simple sur un corps algébriquement clos. Déduire de a) et de l’exerc. 7 b) que la dimension de l’espace des formes bilinéaires invariantes sur $g$ est égale au nombre de composants simples de $g$, et que toutes ces formes sont symétriques.

c) Soient $g$ une algèbre de Lie simple, $M$ l’espace dual de l’espace vectoriel $g$, muni de la représentation duale de la représentation adjointe, $\mathfrak{h}$ le produit semi-direct de $g$ et de $M$ défini par $x \to x_M$. Pour $y, z$ dans $g$, et $y', z'$ dans $M$, on pose $\beta(y + y', z + z') = \langle y, z' \rangle + \langle z, y' \rangle$. Montrer que $\beta$ est, sur $\mathfrak{h}$, une forme bilinéaire symétrique invariante non dégénérée, qui n’est associée à aucune représentation de $\mathfrak{h}$. (Observer que le radical et le radical nilpotent de $\mathfrak{h}$ sont égaux à M.)