Bài tập 20, § 6

Giả sử rằng K là đóng đại số. Cho $g$ là một đại số Lie và c là tâm của nó.

(a) Nếu $g$ thừa nhận một biểu diễn đơn trung thành hữu hạn chiều, thì $g$ là khả quy và $\dim c \leq 1$.

(b) Ngược lại, nếu $g$ là khả quy và $\dim c \leq 1$, thì $g$ thừa nhận một biểu diễn đơn trung thành hữu hạn chiều. (Nếu $g$ là đơn, hãy dùng biểu diễn phụ hợp. Nếu $g = g_1 \times g_2$ và $g_1, g_2$ thừa nhận các biểu diễn đơn trung thành hữu hạn chiều $\rho_1, \rho_2$ trên các không gian $M_1, M_2$, hãy chỉ ra rằng

là một biểu diễn nửa đơn $\rho$ của $g$, rồi rằng bộ giao hoán của môđun $g$ $M_1 \otimes M_2$ thu về các vô hướng và do đó $\rho$ là đơn. Khi $g_1$ và $g_2$ là nửa đơn hoặc $g_1$ là nửa đơn và $g_2$ là giao hoán, hãy chỉ ra rằng $\rho$ là trung thành bằng cách xét hạt nhân của $\rho$, là một iđêan của $g_1 \times g_2$.)