Exercice 20, § 6

On suppose K algébriquement clos. Soient $g$ une algèbre de Lie, c son centre.

a) Si $g$ admet une représentation simple fidèle de dimension finie, $g$ est réductive et $\dim c \leq 1$.

b) Réciproquement, si $g$ est réductive et $\dim c \leq 1$, $g$ admet une représentation simple fidèle de dimension finie. (Si $g$ est simple, utiliser la représentation adjointe. Si $g = g_1 \times g_2$, et si $g_1, g_2$ admettent des représentations simples fidèles $\rho_1, \rho_2$ de dimension finie dans des espaces $M_1, M_2$, montrer que $(x_1, x_2) \mapsto \rho_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \rho_2(x_2)$ est une représentation semi-simple $\rho$ de $g$, puis que le commutant du $g$-module $M_1 \otimes M_2$ se réduit aux scalaires, donc que $\rho$ est simple. Lorsque $g_1$ et $g_2$ sont semi-simples, ou lorsque $g_1$ est semi-simple et $g_2$ commutative, montrer que $\rho$ est fidèle en considérant le noyau de $\rho$ qui est un idéal de $g_1 \times g_2$.)