Bài tập 26, § 6

Nhóm Lie và đại số Lie, I, 109

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho $K$ là một trường có đặc số $\neq 2$ và $\Phi$ là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên một không gian vectơ $n$ -chiều trên $K$ .

(a) Chứng minh rằng, nếu $n \geq 5$ , đại số Lie $\mathfrak{o}(\Phi)$ là đơn. (Bằng cách mở rộng trường cơ sở, có thể quy về trường hợp chỉ số của $\Phi$ là $m = [n/2]$ . Nếu chẳng hạn $n = 2m$ là chẵn, $\mathfrak{o}(\Phi)$ có cơ sở gồm các phần tử

H_i = E_{ij} - E_{i+m, i+m}, \quad F_{ij} = E_{ij} - E_{j+m, i+m} \quad (1 \leq i, j \leq m, i \neq j),

G'_{ij} = E_{i, j+m} - E_{j, i+m} \quad \text{và} \quad G''_{ij} = E_{i+m, j} - E_{j+m, i} \quad (1 \leq i < j \leq m);

sau đó lập luận như trong các Bài tập 24 và 25. Tiến hành tương tự khi $n = 2m + 1$ là lẻ.)

(b) Cho $\Delta$ là biệt thức của $\Phi$ đối với một cơ sở. Giả sử rằng $n = 4$ . Chứng minh rằng, nếu $\Delta$ không là một bình phương trong $K$ , $\mathfrak{o}(\Phi)$ là đơn. Nếu $\Delta$ là một bình phương, $\mathfrak{o}(\Phi)$ là tích của hai đại số Lie đơn 3-chiều đẳng cấu. (Sử dụng cấu trúc của $\mathbf{G}(\Phi)$ được mô tả trong Đại số, Chương IX, § 9, Bài tập 16.) Suy ra một ví dụ về một đại số Lie đơn trở thành không đơn khi mở rộng trường cơ sở.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.