Exercice 26, § 6

Soient K un corps de caractéristique $\neq 2$, $\Phi$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel de dimension $n$ sur K.

a) Montrer que, si $n \geq 5$, l’algèbre de Lie $\mathfrak{o}(\Phi)$ est simple. (Par extension du corps de base, on peut se ramener au cas où l’indice de $\Phi$ est $m = [n/2]$. Si par exemple $n = 2m$ est pair, $\mathfrak{o}(\Phi)$ a une base formée des éléments $H_i = E_{ii} - E_{i+m,i+m}$, $F_{ij} = E_{ij} - E_{j+m,i+m}$ ($1 \leq i, j \leq m, i \neq j$), $G'_{ij} = E_{i,j+m} - E_{j,i+m}$ et $G''_{ij} = E_{i+m,j} - E_{j+m,i}$ ($1 \leq i < j \leq m$) ; raisonner alors comme dans les exerc. 24 et 25. Procéder de même lorsque $n = 2m + 1$ est impair.)

b) Soit $\Delta$ le discriminant de $\Phi$ par rapport à une base. On suppose $n = 4$. Montrer que, si $\Delta$ n’est pas un carré dans K, $\mathfrak{o}(\Phi)$ est simple. Si $\Delta$ est un carré, $\mathfrak{o}(\Phi)$ est produit de deux algèbres de Lie simples isomorphes de dimension 3. (Utiliser la structure de $\mathbf{G}(\Phi)$, décrite dans Alg., chap. IX, § 9, exerc. 16.) En déduire un exemple d’algèbre de Lie simple qui devient non simple par extension du corps de base.