Bài tập 12, § 1

Giả sử rằng K là một trường có đặc số $p > 0$. (a) Cho $g$ là một đại số Lie $p$ (Chương I, § 1, Bài tập 20) và cho $\tilde{U}$ là

† Bài tập được xét ở đây giả thiết rằng K là một trường, nhưng không mất gì nếu bỏ giả thiết này.

đại số song bao quanh hạn chế của nó (Chương I, § 2, Bài tập 6). Chứng minh rằng trên $\tilde{U}$ tồn tại duy nhất một cấu trúc đại số song tương thích với cấu trúc đại số của nó và sao cho các phần tử của $g$ là nguyên thủy. Chứng minh rằng $\tilde{U}$ là đồng giao hoán và rằng $P(\tilde{U}) = g$.

(b) Nếu $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$, gọi $\tilde{U}_n$ là không gian con vectơ của $\tilde{U}$ sinh bởi các tích $x_1 \ldots x_n$ trong đó $x_i \in g$ với mọi $i$. Chứng minh rằng $(\tilde{U}_n)_{n \geqslant 0}$ là một lọc của $\tilde{U}$ tương thích với cấu trúc đại số song của nó.

(c) Cho $E$ là một đại số song và cho $g = P(E)$ là đại số Lie của các phần tử nguyên thủy của nó. Ánh xạ $x \mapsto x^p$ giữ ổn định $g$ và trang bị cho $g$ một cấu trúc đại số Lie $p$. Chứng minh rằng đơn ánh chính tắc $g \to E$ có thể được mở rộng duy nhất thành một cấu xạ đại số song $\tilde{U} \to E$ và rằng cấu xạ này là đơn ánh (sử dụng sự kiện rằng, nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $g$ với một thứ tự toàn phần, thì các đơn thức $\prod x_i^{n_i}$ $(0 \leqslant n_i < p)$ tạo thành một cơ sở của $U$ (loc. cit.) và lập luận như trong chứng minh của Bổ đề 2).