Exercice 12, § 1

On suppose que K est un corps de caractéristique $p > 0$. a) Soit g une $p$-algèbre de Lie (chap. I, § 1, exerc. 20) et soit Ũ son algèbre enveloppante restreinte (chap. I, § 2, exerc. 6). Montrer qu’il existe sur Ũ une structure de bigèbre et une seule qui soit compatible avec sa structure d’algèbre, et pour laquelle les éléments de g soient primitifs. Montrer que Ũ est cocommutative et que P(Ũ) = g. b) Si n est un entier $\geqslant 0$, on note $\tilde{U}_n$ le sous-espace vectoriel de Ũ engendré par les produits $x_1 \ldots x_n$, où $x_i \in g$ pour tout i. Montrer que $(\tilde{U}_n)_{n \geqslant 0}$ est une filtration de Ũ compatible avec sa structure de bigèbre. c) Soit E une bigèbre, et soit $g = P(E)$ l’algèbre de Lie de ses éléments primitifs. L’application $x \mapsto x^p$ laisse stable g, et munit g d’une structure de $p$-algèbre de Lie. Montrer que l’injection canonique $g \to E$ se prolonge de façon unique en un morphisme de bigèbres $\tilde{U} \to E$ et que ce morphisme est injectif (utiliser le fait que, si $(x_i)_{i \in I}$ est une base de g munie d’un ordre total, les monômes $\prod x_i^{n_i}$ $(0 \leqslant n_i < p)$ forment une base de Ũ (loc. cit.), et raisonner comme dans la démonstration du lemme 2).