Bài tập 2, § 3

Cho $g$ là một đại số Lie là một môđun tự do; nó được đồng nhất bằng $\sigma : g \to Ug$ với ảnh của nó trong đại số bao $Ug$. Cho $U^+g$ là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $Ug \to K$. Cho $i$ là một ánh xạ của $X$ vào $g$ sao cho $i(X)$ sinh $g$ như một đại số Lie. (a) Chứng minh rằng $U^+g$ được sinh bởi $i(X)$ như một môđun trái $Ug$. (b) Chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (i) $g$ là tự do với họ cơ sở $i : X \to g$. (ii) Họ $i$ là một cơ sở của môđun trái $Ug$ $U^+g$. (Hàm ý (i) $\Rightarrow$ (ii) suy ra từ Bài tập 1 (a) bằng cách sử dụng đẳng cấu $Ug \to A(X)$. Để chứng minh (ii) $\Rightarrow$ (i), áp dụng Bài tập 1 (b) cho hạt nhân của đồng cấu $A(X) \to Ug$ được xác định bởi $i$.)