Exercice 2, § 3

Soit $g$ une algèbre de Lie qui soit un module libre; on l’identifie au moyen de $\sigma : g \to Ug$ à son image dans l’algèbre enveloppante $Ug$. Soit $U^+g$ le noyau de l’homomorphisme canonique $Ug \to K$. Soit $i$ une application de $X$ dans $g$ telle que $i(X)$ engendre $g$ comme algèbre de Lie. a) Montrer que $U^+g$ est engendré par $i(X)$ comme $Ug$-module à gauche. b) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $g$ est libre de famille basique $i : X \to g$. (ii) La famille $i$ est une base du $Ug$-module à gauche $U^+g$. (L’implication (i) $\Rightarrow$ (ii) résulte de l’exerc. 1 a), compte tenu de l’isomorphisme $Ug \to A(X)$. Pour démontrer (ii) $\Rightarrow$ (i), appliquer l’exerc. 1 b) au noyau de l’homomorphisme $A(X) \to Ug$ défini par $i$.)