Bài tập 4, § 6

Nhóm Lie và đại số Lie, II

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho $X$ là một tập hợp hữu hạn, và đặt $\hat{L} = \hat{L}(X)$ . Trang bị cho $\hat{L}$ luật hợp thành Hausdorff $(a, b) \mapsto a + b$ , mà ta ký hiệu đơn giản là $a . b$ . Nếu $t \in K$ , $a \in \hat{L}$ , đặt $a^t = ta$ .

a) Cho $\mathscr{H}$ là một tập hợp Hall đối với X. Nếu $m \in \mathscr{H}$ , ký hiệu $m_L$ là phần tử tương ứng của đại số Lie $L(X)$ (§ 2, No. 11), và $m_{\mathscr{H}}$ là giao hoán tử cơ bản của nhóm $\hat{L}$ được xác định bởi $m$ (§ 5, No. 4, Nhận xét). Nếu $m$ có độ dài $l$ , hãy chứng minh rằng $m_{\mathscr{H}} = m_L + \mu$ , trong đó $\mu$ có lọc $\geqslant l + 1$ (lập luận bằng quy nạp theo $l$ ). Suy ra rằng mọi phần tử $w$ của nhóm $\hat{L}$ có thể được viết duy nhất dưới dạng

w = \prod_{m \in \mathscr{H}} m_{\mathscr{H}}^{\alpha(m)},

với $\alpha(m) \in K$ , tích này hội tụ trong nhóm tôpô $\hat{L}$ .

b) Cho $P$ là tập hợp các số nguyên tố, và cho $c$ là một số nguyên $\geqslant 1$ . Lấy $K = \mathbf{Q}$ . Hãy chứng minh rằng nhóm $\hat{L}/\hat{L}_c$ được đồng nhất với bao $P$ $F_P^c$ của nhóm $F^c = F(X)/C^cF(X)$ , cf. § 5, exerc. 6.

c) Lấy X là một tập hợp có hai phần tử $\{U, V\}$ . Hãy chứng minh sự tồn tại của hai họ $\alpha(m), \beta(m)$ các số hữu tỉ sao cho

U + V = \prod_{m \in \mathscr{H}} m_{\mathscr{H}}^{\alpha(m)}

[U, V] = \prod_{m \in \mathscr{H}} m_{\mathscr{H}}^{\beta(m)}.

Ví dụ

U + V = U . V . (U, V)^{-\frac{1}{2}} \ldots

[U, V] = (U, V) \ldots

d) Cho $g$ là một đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh, được trang bị luật nhóm Hausdorff. Cho $u, v$ là các phần tử của $g$ . Hãy chứng minh rằng ta có

u + v = \prod_{m \in \mathscr{H}} m_{\mathscr{H}}(u, v)^{\alpha(m)}

[u, v] = \prod_{m \in \mathscr{H}} m_{\mathscr{H}}(u, v)^{\beta(m)},

trong đó $\alpha$ và $\beta$ là các họ số hữu tỉ được xác định ở trên (« đảo công thức Hausdorff »). (Sử dụng đồng cấu liên tục $\varphi : \hat{L} \to g$ sao cho $\varphi(U) = u$ , $\varphi(V) = v$ , và nhận xét rằng nó cũng là một đồng cấu đối với luật nhóm Hausdorff.)

e) Cho G là một nhóm lũy linh chia được không có xoắn (nghĩa là P-chia được và không có P-xoắn). Nếu $u \in G$ , $t \in \mathbf{Q}$ , thì $u^t$ được định nghĩa (§ 4, exerc. 16). Nếu $u \in G$ , $v \in G$ , định nghĩa $u + v$ và $[u, v]$ bằng các công thức của d) ở trên. Chứng minh rằng G khi đó được trang bị một cấu trúc của đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh và rằng luật Hausdorff tương ứng là luật nhóm đã cho trên G (kiểm tra các khẳng định này khi G là một nhóm $F_P^c$ , cf. b), và từ đó suy ra trường hợp tổng quát bằng cách sử dụng các đồng cấu của $F_P^c$ vào G).

Cho $f$ là một ánh xạ từ G vào một nhóm lũy linh chia được không xoắn $G'$ . Chứng minh rằng $f$ là một đồng cấu (của các nhóm) khi và chỉ khi nó là một đồng cấu của các đại số Lie. (Do đó luật Hausdorff định nghĩa một đẳng cấu của “phạm trù” các đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh lên phạm trù các nhóm lũy linh chia được không xoắn.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.