Exercice 4, § 6

Soit X un ensemble fini, et soit $\hat{L} = \hat{L}(X)$. On munit $\hat{L}$ de la loi de composition de Hausdorff $(a, b) \mapsto a + b$, que l’on note simplement $a . b$. Si $t \in K$, $a \in \hat{L}$, on pose $a^t = ta$.

a) Soit $\mathscr{H}$ un ensemble de Hall relatif à X. Si $m \in \mathscr{H}$, on note $m_L$ l’élément correspondant de l’algèbre de Lie $L(X)$ (§ 2, n° 11), et $m_{\mathscr{H}}$ le commutateur basique du groupe $\hat{L}$ défini par $m$ (§ 5, n° 4, Remarque). Si $m$ est de longueur $l$, montrer que $m_{\mathscr{H}} = m_L + \mu$, où $\mu$ est de filtration $\geqslant l + 1$ (raisonner par récurrence sur $l$). En déduire que tout élément $w$ du groupe $\hat{L}$ s’écrit de façon unique sous la forme

avec $\alpha(m) \in K$, le produit étant convergent dans le groupe topologique $\hat{L}$.

b) Soit $P$ l’ensemble des nombres premiers, et soit $c$ un entier $\geqslant 1$. On prend $K = \mathbf{Q}$. Montrer que le groupe $\hat{L}/\hat{L}_c$ s’identifie à la $P$-enveloppe $F_P^c$ du groupe $F^c = F(X)/C^cF(X)$, cf. § 5, exerc. 6.

c) On prend pour X un ensemble à deux éléments $\{U, V\}$. Montrer l’existence de deux familles $\alpha(m), \beta(m)$ de nombres rationnels telles que

On a par exemple

d) Soit $g$ une $\mathbf{Q}$-algèbre de Lie nilpotente, munie de la loi de groupe de Hausdorff. Soient $u, v$ dans $g$. Montrer que l’on a

où $\alpha$ et $\beta$ sont les familles de nombres rationnels définies ci-dessus (« inversion de la formule de Hausdorff »). (Utiliser l’homomorphisme continu $\varphi : \hat{L} \to g$ tel que $\varphi(U) = u$, $\varphi(V) = v$, et remarquer que c’est aussi un homomorphisme pour la loi de groupe de Hausdorff.)

e) Soit G un groupe nilpotent divisible sans torsion (i.e. P-divisible et sans P-torsion). Si $u \in G$, $t \in \mathbf{Q}$, $u^t$ est défini (§ 4, exerc. 16). Si $u \in G$, $v \in G$, on définit $u + v$ et $[u, v]$ par les formules de d) ci-dessus. Montrer que G se trouve ainsi muni d’une structure de $\mathbf{Q}$-algèbre de Lie nilpotente et que la loi de Hausdorff correspondante est la loi de groupe donnée sur G (vérifier ces assertions lorsque G est un groupe $F_P^c$, cf. b), et passer de là au cas général en utilisant des homomorphismes de $F_P^c$ dans G).

Soit $f$ une application de G dans un groupe nilpotent divisible sans torsion $G'$. Montrer que $f$ est un homomorphisme (de groupes) si et seulement si c’est un homomorphisme d’algèbres de Lie. (La loi de Hausdorff définit donc un isomorphisme de la « catégorie » des $\mathbf{Q}$-algèbres de Lie nilpotentes sur celle des groupes nilpotents divisibles sans torsion.)