Bài tập 5, § 6

Cho $g$ là một đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh, được trang bị luật nhóm Hausdorff, ký hiệu $(x, y) \mapsto x . y$. (a) Chứng minh rằng, nếu $x \in g$, $y \in g$, ta có

(Dùng Bài tập 2.)

(b) Cho $\mathfrak{h}$ là một tập con của $g$. Chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie (tương ứng, một iđêan) của $g$ khi và chỉ khi nó là một nhóm con bão hòa (tương ứng, một nhóm con đặc biệt bão hòa) của nhóm $g$. (Dùng các công thức của Bài tập 4 d) để chuyển từ luật nhóm sang luật của đại số Lie.) (c) Cho $\mathfrak{h}$ là một nhóm con của nhóm $g$. Chứng minh rằng $\mathbf{P}$-bão hòa của $\mathfrak{h}$ là $\mathbf{Q}.\mathfrak{h}$. (d) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie của $g$. Chứng minh rằng tâm hóa (tương ứng, chuẩn hóa) của $\mathfrak{h}$ trong nhóm $g$ là tập hợp các $x \in g$ sao cho $(\mathrm{ad}\,x)(\mathfrak{h}) = 0$ (tương ứng, sao cho $(\mathrm{ad}\,x)(\mathfrak{h}) \subset \mathfrak{h}$). (e) Chứng minh rằng dãy trung tâm giảm của đại số Lie $g$ trùng với dãy của nhóm $g$ và rằng đại số Lie phân bậc liên kết $\mathrm{gr}(g)$ là như nhau từ quan điểm “nhóm” và từ quan điểm “đại số Lie”.