Exercice 5, § 6

Soit $g$ une $\mathbf{Q}$-algèbre de Lie nilpotente, que l’on munit de la loi de groupe de Hausdorff, notée $(x, y) \mapsto x . y$. a) Montrer que, si $x \in g$, $y \in g$, on a

(Utiliser l’exerc. 2.)

b) Soit $\mathfrak{h}$ une partie de $g$. Montrer que $\mathfrak{h}$ est une sous-algèbre de Lie (resp. un idéal) de $g$ si et seulement si c’est un sous-groupe saturé (resp. un sous-groupe distingué saturé) du groupe $g$. (Utiliser les formules de l’exerc. 4 d) pour passer de la loi de groupe à celle d’algèbre de Lie.) c) Soit $\mathfrak{h}$ un sous-groupe du groupe $g$. Montrer que le $\mathbf{P}$-saturé de $\mathfrak{h}$ est $\mathbf{Q}.\mathfrak{h}$. d) Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Lie de $g$. Montrer que le centralisateur (resp. le normalisateur) de $\mathfrak{h}$ dans le groupe $g$ est l’ensemble des $x \in g$ tels que $(\mathrm{ad}\,x)(\mathfrak{h}) = 0$ (resp. tels que $(\mathrm{ad}\,x)(\mathfrak{h}) \subset \mathfrak{h}$). e) Montrer que la suite centrale descendante de l’algèbre de Lie $g$ coïncide avec celle du groupe $g$ et que l’algèbre de Lie graduée associée $\mathrm{gr}(g)$ est la même du point de vue « groupe » et du point de vue « algèbre de Lie ».