Bài tập 13, § 4

Trang bị cho $\mathbf{R}^n$ tích vô hướng thông thường $((\xi_i), (\eta_i)) \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i \eta_i$. Gọi $I(n)$ là nhóm các phép biến đổi đẳng cự afin của $\mathbf{R}^n$. Nó đẳng cấu chính tắc với nhóm con Lie của $\mathbf{GL}(n+1, \mathbf{R})$ được tạo bởi các ma trận

trong đó $U \in \mathbf{O}(n)$ và $x$ là một phần tử tùy ý của $\mathbf{R}^n$ (ma trận kiểu $(n, 1)$). Có thể đồng nhất $I(n)$ với tích nửa trực tiếp của $\mathbf{O}(n)$ bởi $\mathbf{R}^n$ được định nghĩa bởi đơn ánh chính tắc của $\mathbf{O}(n)$ vào $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$ (khi đó ma trận $S$ được ký hiệu là $(U, x)$). Gọi $p : I(n) \to \mathbf{O}(n)$ là toàn cấu chính tắc, với hạt nhân $\mathbf{R}^n$.

a) Cho $\Gamma$ là một nhóm con rời rạc của $I(n)$. Xét bao đóng $\overline{p(\Gamma)}$ của $p(\Gamma)$ trong $\mathbf{O}(n)$. Bây giờ chứng minh rằng thành phần đơn vị của nó là giao hoán. (Cho $V$ là một lân cận của $I$ trong $\mathbf{O}(n)$ có các tính chất của exerc. 11 d), và hơn nữa sao cho $\|U - I\| \leq \frac{1}{4}$ với mọi $U \in V$ (chuẩn trên $\mathrm{End}(\mathbf{R}^n)$ được suy ra từ chuẩn Euclid của $\mathbf{R}^n$). Lập luận bằng phản chứng bằng cách giả sử rằng tồn tại $S_1 = (U_1, x_1), S_2 = (U_2, x_2)$ sao cho $U_1, U_2$ thuộc $V$ và không giao hoán. Bây giờ chứng minh rằng có thể viết $(S_1, S_2) = ((U_1, U_2), y)$ với

Định nghĩa khi đó bằng truy hồi các $S_k$ bằng cách đặt $S_k = (S_1, S_{k-1})$ với $k \geq 3$. Căn cứ vào lựa chọn $V$, bây giờ chứng minh rằng dãy này có vô hạn số hạng phân biệt và bị chặn trong $I(n)$, điều này là vô lý.)

b) Ta nói rằng $\Gamma$ là tinh thể nếu $I(n)/\Gamma$ là compact. Bây giờ chứng minh rằng, nếu điều này đúng, thì với mọi $x \in \mathbf{R}^n$, không gian con afin $L$ của $\mathbf{R}^n$ sinh bởi $\Gamma x$ bằng $\mathbf{R}^n$. (Trong trường hợp ngược lại, với mọi $y \in \mathbf{R}^n$, tất cả các điểm của $\Gamma y$ đều ở cùng một khoảng cách đến $L$, và vì khoảng cách này có thể lớn tùy ý, $I(n)/\Gamma$ không compact.)

c) Nếu $\Gamma$ là giao hoán tinh thể, ta có $\Gamma \subset \mathbf{R}^n$. (Nếu $S = (U, x) \in \Gamma$ là sao cho không gian vectơ con $V \subset \mathbf{R}^n$ tạo bởi các điểm bất biến dưới tác động của $U$ không bằng $\mathbf{R}^n$, và nếu ta ký hiệu bởi $V^\perp$ không gian con trực giao với $V$, thì, với mọi $S' = (U', x') \in \Gamma$, $U'$ giữ ổn định $V$ và $V^\perp$. Mặt khác, vì $U | V^\perp$ không có điểm bất biến khác không, hãy chứng minh rằng điều này cho phép ta giả sử, bằng cách thay đổi gốc tọa độ, rằng $x \in V$. Sử dụng b), tồn tại $S' = (U', x') \in \Gamma$ sao cho phép chiếu trực giao $y'$ của $x'$ lên $V^\perp$ là $\neq 0$. Bằng cách tính $Sx'$ theo công thức $S = S'S{S'}^{-1}$, suy ra rằng $U.y' = y'$ trái với định nghĩa của $V$.)

d) Nếu $\Gamma$ là tinh thể, $\Gamma \cap \mathbf{R}^n$ là một nhóm tự do giao hoán có hạng $n$, và $\Gamma/(\Gamma \cap \mathbf{R}^n)$ là một nhóm hữu hạn (định lý Bieberbach). (Gọi $W$ là không gian vectơ con của $\mathbf{R}^n$ sinh bởi $\Gamma \cap \mathbf{R}^n$. Nhóm compact $\overline{p(\Gamma)}$ chỉ có một số hữu hạn các thành phần liên thông. Nếu $W = \{0\}$, $\Gamma$ chứa, theo a), một nhóm con chuẩn giao hoán có chỉ số hữu hạn $\Gamma_1$; khi đó $\Gamma_1$ là tinh thể, dẫn đến một mâu thuẫn với c). Do đó $W \neq \{0\}$. Chứng minh rằng $p(\Gamma)$ giữ ổn định $W$ và rằng $p(\Gamma) | W$ là hữu hạn: nếu không, tồn tại một dãy $(S_m)$ trong $\Gamma$ sao cho nếu $S_m = (U_m, x_m)$, các $U_m$ từng đôi một phân biệt và tiến tới $I$; khi đó lập các $(I, a_j)S_m(I, a_j)^{-1}S_m^{-1}$ trong đó $(a_j)$ là một cơ sở của $\Gamma \cap \mathbf{R}^n$, và thu được một mâu thuẫn với giả thiết rằng $\Gamma$ là rời rạc. Cuối cùng, để thấy rằng $W = \mathbf{R}^n$, hãy chứng minh rằng nếu không thì tác động của $\Gamma$ trên $\mathbf{R}^n/W$ sẽ là tác động của một nhóm tinh thể không chứa phép tịnh tiến $\neq 0$.)