Bài tập 1, § 5

Giả sử $K = \mathbf{R}$. Cho $r$ là một số nguyên $\geq 1$ hoặc $\infty$. Một nhóm lớp $C^r$ là một tập hợp $G$ với một cấu trúc nhóm và một cấu trúc đa tạp lớp $C^r$ sao cho ánh xạ $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ của $G \times G$ vào $G$ là lớp $C^r$.

(a) Từ nay giả sử rằng $r \geq 2$. Một lân cận của $e$ trong $G$ được đồng nhất với một lân cận của $0$ trong một không gian Banach. Đặt $xy = P(x, y)$, trong đó $P$ là một ánh xạ lớp $C^2$ trên một lân cận mở của $(0, 0)$. Đặt

Chứng minh rằng

khi $(x, y) \to (0, 0)$. (Dùng một khai triển của P cấp 2 với phần dư nguyên.) (b) Chứng minh rằng

khi $(x, y)$ tiến tới $(0, 0)$.