Exercice 1, § 5

On suppose que $K = \mathbf{R}$. Soit $r$ un entier $\geq 1$ ou $\infty$. On appelle groupe de classe $C^r$ un ensemble $G$ muni d’une structure de groupe et d’une structure de variété de classe $C^r$ telles que l’application $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ de $G \times G$ dans $G$ soit de classe $C^r$.

a) On suppose désormais $r \geqslant 2$. On identifie un voisinage de $e$ dans $G$ à un voisinage de $0$ dans un espace de Banach. Soit $xy = P(x, y)$ où $P$ est une application de classe $C^2$ dans un voisinage ouvert de $(0, 0)$. On pose $(D_1 D_2 P)(0, 0) = B$. Montrer que

quand $(x, y) \to (0, 0)$. (Utiliser un développement d’ordre 2 de $P$ avec reste intégral.) b) Montrer que quand $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$.