Bài tập 2, § 5

Cho G là một nhóm thuộc lớp $C^r$ với $r \geq 2$. (a) Cho $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$, $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)$. Nếu $s + s' \leq r$, định nghĩa $t * t' \in \mathscr{T}^{(s+s')}(G)$ như trong § 3, no. 1. Nếu t và $t'$ không có số hạng hằng, $t * t'$ không có số hạng hằng. Ảnh của t qua ánh xạ $x \mapsto x^{-1}$ của G vào G được ký hiệu là $t^\vee$; khi đó $t^\vee \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$. Nếu $f$ là một hàm thuộc lớp $C^r$ trên G với các giá trị trong một không gian đa chuẩn Hausdorff, $f * t$ ký hiệu cho hàm trên G được định nghĩa bởi $(f * t)(x) = \langle \varepsilon_x * t^\vee, f \rangle$ với mọi $x \in G$; hàm này thuộc lớp $C^{r-s}$ nếu $s < \infty$. Chứng minh, như trong § 3, no. 4, rằng $f * (t * t') = (f * t) * t'$. (b) Nếu $t \in T_e(G)$, trường vectơ $x \mapsto \varepsilon_x * t$ trên G được ký hiệu là $L_t$. Chứng minh, như trong § 3, no. 6, rằng, với $t, t'$ trong $T_e(G)$, $L_{t*t'} = L_t \circ L_{t'}$ và do đó

Vì vậy, $t * t' - t' * t$ là một phần tử của $T_e(G)$ mà ta ký hiệu là $[t, t']$. (c) Sử dụng ký hiệu của Bài tập 1 (a), nếu $t \in T_e(G)$, thì với x đủ gần 0. Suy ra rằng $[t, t'] = B(t, t') - B(t', t)$. (d) Chứng minh rằng $T_e(G)$, với móc $(t, t') \mapsto [t, t']$, là một đại số Lie chuẩn được. (Để chứng minh đồng nhất thức Jacobi, sử dụng (c), Bài tập 1 (b) và đồng nhất thức (5) của Đại số, Chương I, § 6, no. 2.) (Để tiếp tục bài tập này, xem § 8, Bài tập 6.)