Exercice 2, § 5

Soit $G$ un groupe de classe $C^r$ avec $r \geqslant 2$. a) Soient $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$, $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)$. Si $s + s' \leqslant r$, définir $t * t' \in \mathscr{T}^{(s+s')}(G)$ comme au § 3, no 1. Si $t$ et $t'$ sont sans termes constants, $t * t'$ est sans terme constant. L’image de $t$ par l’application $x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ se note $t^\vee$; on a $t^\vee \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$. Si $f$ est une fonction de classe $C^r$ sur $G$ à valeurs dans un espace polynormé séparé, on note $f * t$ la fonction sur $G$ définie par $(f * t)(x) = \langle \varepsilon_x * t^\vee, f \rangle$ pour tout $x \in G$; cette fonction est de classe $C^{r-s}$ si $s < \infty$. Montrer, comme au § 3, no 4, que $f * (t * t') = (f * t) * t'$. b) Si $t \in T_e(G)$, le champ de vecteurs $x \mapsto \varepsilon_x * t$ sur $G$ se note $L_t$. Montrer comme au § 3, no 6, que, pour $t, t'$ dans $T_e(G)$, on a $L_{t*t'} = L_t \circ L_{t'}$, donc que $L_{t*t'-t'*t} = [L_t, L_{t'}]$. Par suite, $t * t' - t' * t$ est un élément de $T_e(G)$ qu’on note $[t, t']$. c) On utilise les notations de l’exerc. 1 a). Si $t \in T_e(G)$, on a $L_t(x) = (D_2 P(x, 0))(t)$ pour $x$ assez voisin de $0$. En déduire que $[t, t'] = B(t, t') - B(t', t)$. d) Montrer que $T_e(G)$, muni du crochet $(t, t') \mapsto [t, t']$, est une algèbre de Lie normable. (Pour prouver l’identité de Jacobi, utiliser c), l’exerc. 1 b), et l’identité (5) de A, I, p. 66.) (Pour une suite de cet exerc., cf. § 8, exerc. 6).)