Bài tập 17, § 6

(a) Cho $G, \overline{G}, G_0$ như trong Bài tập 16 (b). Cho $V$ là một không gian vectơ phức hữu hạn chiều và $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính bất khả quy của $G_0$ trên $V$. Chứng minh rằng tồn tại các không gian vectơ phức hữu hạn chiều $X, Y$, một biểu diễn tuyến tính giải tích bất khả quy $\sigma$ (tương ứng $\tau$) của $G$ (tương ứng $\overline{G}$) trên $X$ (tương ứng $Y$) và một đẳng cấu từ $V$ lên $X \otimes Y$ biến $\rho$ thành $\sigma \otimes \tau$. (Dùng Bài tập 16 (a), Mệnh đề 2 của Chương I, § 2, và Hệ quả của Mệnh đề 8 của Đại số, Chương VIII, § 7.)

(b) Chứng minh rằng kết luận của (a) không nhất thiết còn đúng nếu ta bỏ giả thiết rằng $G$ đơn liên thông. (Xét nhóm Lie phức $\mathbf{C}^*$.)