Exercice 17, § 6

a) Soient $G, \bar{G}, G_0$ comme dans l’exerc. 16 b). Soient $V$ un espace vectoriel complexe de dimension finie, $\rho$ une représentation linéaire irréductible de $G_0$ dans $V$. Montrer qu’il existe des espaces vectoriels complexes $X, Y$ de dimension finie, une représentation linéaire irréductible analytique $\sigma$ (resp. $\tau$) de $G$ (resp. $\bar{G}$) dans $X$ (resp. $Y$), et un isomorphisme de $V$ sur $X \otimes Y$ qui transforme $\rho$ en $\sigma \otimes \tau$. (Utiliser l’exerc. 16 a), la prop. 2 du chap. I, § 2, et le cor. de la prop. 8 d’A, VIII, § 7.) b) Montrer que la conclusion de a) ne subsiste pas nécessairement si on supprime l’hypothèse que $G$ est simplement connexe. (Considérer le groupe de Lie complexe $\mathbf{C}^*$.)