Bài tập 22, § 6

Cho $G$ là một nhóm Lie thực, $H$ là một nhóm con nguyên 1 chiều chuẩn tắc và $A$ là một nhóm con đóng của $G$ sao cho $AH$ không đóng trong $G$. Khi đó $H$ là trung tâm trong thành phần liên thông chứa phần tử đơn vị của $\overline{AH}$. (Rút gọn về trường hợp $G = \overline{AH}$ và $G$ liên thông. Khi đó tập hợp $B$ các phần tử của $A$ giao hoán với $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$. Chuyển qua thương bởi $B$, rút gọn về trường hợp $B = \{e\}$. Vì mọi giao hoán tử trong $G$ đều giao hoán với $H$, nên khi đó $A$ là giao hoán. Bằng cách giả sử rằng $H$ đóng và sử dụng Bài tập 21 (c), hãy chỉ ra rằng $AH$ sẽ đóng, do đó dẫn đến một mâu thuẫn. Vậy $H$ không đóng và có thể sử dụng Bài tập 21 (a).)