Exercice 22, § 6

Soient G un groupe de Lie réel, H un sous-groupe intégral de dimension 1 distingué, A un sous-groupe fermé de G tel que AH soit non fermé dans G. Alors H est central dans la composante neutre de $\overline{AH}$. (Se ramener au cas où $G = \overline{AH}$ et où G est connexe. Alors l’ensemble B des éléments de A permutables à H est un sous-groupe distingué de G. Passant au quotient par B, se ramener au cas où $B = \{e\}$. Comme tout commutateur dans G permuté à H, A est alors commutatif. En supposant H fermé, et en utilisant l’exerc. 21 c), montrer que AH serait fermé, d’où contradiction. Donc H est non fermé et on utilise l’exerc. 21 a).)