Bài tập 23, § 6

Cho $G$ là một nhóm Lie thực và $c = (U, \phi, E)$ là một bản đồ trên đa tạp $G$ tâm tại phần tử đơn vị $e$. Nếu $x \in U$, ký hiệu $|x|_c$ là chuẩn của $\phi(x)$ trong không gian Banach $E$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $c' = (U', \phi', E')$ là một bản đồ khác tâm tại $e$, tồn tại các hằng số $\lambda > 0$ và $\mu > 0$ sao cho

với mọi $x \in G$ đủ gần $e$.

(b) Chứng minh rằng, với mọi $\rho > 0$, tồn tại một lân cận $U_\rho$ của $e$ được chứa trong $U$ sao cho, với $x, y$ trong $U_\rho$, $(x, y) \in U_\rho$ và

(c) Giả sử rằng $G$ là hữu hạn chiều. Cho $\Gamma$ là một nhóm con rời rạc của $G$. Áp dụng (b) với $0 < \rho < 1$ và chọn $U_\rho$ là tương đối compact. Tập hợp $U_\rho \cap \Gamma$ là hữu hạn. Cho

là các phần tử của nó, được đánh số sao cho Chứng minh rằng, nếu $i \leq m$ và $j \leq m$, giao hoán tử $(\gamma_i, \gamma_j)$ bằng một trong các $\gamma_k$ với $k < \inf(i, j)$. Suy ra rằng nhóm con sinh bởi $U_\rho \cap \Gamma$ là lũy linh lớp $\leq m$.

Suy ra từ điều trên sự tồn tại của một lân cận $V$ của $e$ sao cho, với mọi nhóm con rời rạc $\Gamma$ của $G$, tồn tại một nhóm con nguyên lũy linh $N$ của $G$ chứa $V \cap \Gamma$.

(d) Giả sử rằng $G$ liên thông và hữu hạn chiều, đồng thời chứa một dãy tăng các nhóm con rời rạc $D_n$ có hợp là trù mật trong $G$. Khi đó $G$ là lũy linh. (Sử dụng (c), chứng minh sự tồn tại của một nhóm con một tham số trung tâm $H$ cắt $D_n$ với $n$ đủ lớn tại một điểm phân biệt với $e$. Lập luận bằng quy nạp theo $\dim G$, phân biệt hai trường hợp tùy theo $H$ là đóng hay tương đối compact (Bài tập 21 (a)).)