Exercice 23, § 6

Soit G un groupe de Lie réel, et soit $c = (U, \varphi, E)$ une carte de la variété G centrée en l’élément neutre e. Si $x \in U$, on note $|x|_c$ la norme de $\varphi(x)$ dans l’espace de Banach E. a) Montrer que, si $c' = (U', \varphi', E')$ est une autre carte centrée en e, il existe des constantes $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ telles que

pour tout $x \in G$ assez voisin de e. b) Montrer que, pour tout $\rho > 0$, il existe un voisinage $U_\rho$ de e contenu dans U tel que, pour $x, y$ dans $U_\rho$, on ait $(x, y) \in U_\rho$ et

c) On suppose G de dimension finie. Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de G. On applique b) avec $0 < \rho < 1$ et l’on choisit $U_\rho$ relativement compact. L’ensemble $U_\rho \cap \Gamma$ est fini. Soient

ses éléments, numérotés de telle sorte que

Montrer que, si $i \leq m$ et $j \leq m$, le commutateur $(\gamma_i, \gamma_j)$ est égal à l’un des $\gamma_k$, avec $k < \inf(i, j)$. En déduire que le sous-groupe engendré par $U_\rho \cap \Gamma$ est nilpotent de classe $\leq m$.

EXERCICES

Déduire de ce qui précède l’existence d’un voisinage V de e tel que, pour tout sous-groupe discret Γ de G, il existe un sous-groupe intégral nilpotent N de G contenant V ∩ Γ.

d) On suppose G connexe de dimension finie, contenant une suite croissante de sous-groupes discrets D_n de réunion dense dans G. Alors G est nilpotent. (En utilisant c), prouver l’existence d’un sous-groupe central à un paramètre H qui rencontre D_n pour n assez grand en un point distinct de e. Raisonner par récurrence sur dim G, en distinguant deux cas suivant que H est fermé ou relativement compact (exerc. 21 a)).)