Bài tập 1, § 1

a) Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và cho $s_1, \ldots, s_r$ là các phần tử của $S$. Đặt $w = s_1 \ldots s_r$. Chứng minh rằng nếu $l_S(w) < r$, tồn tại hai số nguyên $p$ và $q$ với $1 \leq p < q \leq r$ sao cho $w = s_1 \ldots s_{p-1} s_p + 1 \ldots s_{q-1} s_q + 1 \ldots s_r$. Chứng minh rằng có một dãy tăng ngặt các số nguyên $j(1), \ldots, j(k)$ giữa 1 và $r$ sao cho $(s_{j(1)}, \ldots, s_{j(k)})$ là một phân tích rút gọn của $w$.

b) Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và $X, Y, Z$ là ba tập con của $S$. Chứng minh rằng

(chứng minh rằng mọi phần tử $w \in W_Y . W_Z$ có một phân tích rút gọn sao cho $s_i \in Y$ và $t_j \in Z$ và sử dụng Hệ quả 1 của Mệnh đề 7 của no. 8). Chứng minh rằng