Exercice 1, § 1

a) Soit (W, S) un système de Coxeter et soient $s_1, \ldots, s_r$ des éléments de S. Posons $w = s_1 \ldots s_r$. Montrer que si $l_S(w) < r$, il existe deux entiers $p$ et $q$ avec $1 \leq p < q \leq r$ tels que $w = s_1 \ldots s_{p-1} s_p + 1 \ldots s_{q-1} s_q + 1 \ldots s_r$. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante $j(1), \ldots, j(k)$ d’entiers compris entre 1 et $r$ telle que $(s_{j(1)}, \ldots, s_{j(k)})$ soit une décomposition réduite de $w$.

b) Soient (W, S) un système de Coxeter et X, Y, Z trois parties de S. Montrer que

(montrer que tout élément $w \in W_Y . W_Z$ possède une décomposition réduite telle que $s_i \in Y$ et $t_j \in Z$ et utiliser le cor. 1 de la prop. 7 du n° 8). Montrer que