Bài tập 13, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter. Với $s, s' \in S$, định nghĩa dãy $\mathbf{a}(s, s')$ bằng các quy tắc sau:

(i) nếu $ss'$ có cấp vô hạn thì $\mathbf{a}(s, s')$ là dãy rỗng; (ii) nếu $ss'$ có cấp hữu hạn $m$ thì dãy $\mathbf{a}(s, s')$ có độ dài $m$ và các số hạng thứ chẵn (resp. lẻ) của nó bằng $s'$ (resp. $s$).

Ký hiệu bởi $a(s, s')$ tích của dãy $\mathbf{a}(s, s')$.

a) Chỉ ra rằng tập sinh $S$ và các quan hệ $s^2 = 1$ và $\mathbf{a}(s, s') = \mathbf{a}(s', s)$ tạo thành một trình bày của nhóm $W$.

b) Cho $q$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Cho $\Sigma_q$ là tập hợp các dãy gồm $q$ phần tử của $S$ và cho $R_q$ là quan hệ tương đương nhỏ nhất trên $\Sigma_q$ sao cho các dãy có dạng $(A, \mathbf{a}(s, s'), B)$ và $(A, \mathbf{a}(s', s), B)$ (trong đó $s, s' \in S$ và $A$ và $B$ là các dãy các phần tử của $S$) là tương đương. Cho $\Sigma_q^r$ là tập hợp các dãy $s = (s_1, \ldots, s_q)$ sao cho $w(s) = s_1 \ldots s_q$ có độ dài $q$. Chỉ ra rằng các dãy $s, s' \in \Sigma_q^r$ là tương đương môđun $R_q$ khi và chỉ khi $w(s) = w(s')$ (lập luận bằng quy nạp theo $q$ và áp dụng Mệnh đề 5 của no. 5).

c) Chỉ ra rằng một dãy $s \in \Sigma_q$ không thuộc $\Sigma_q^r$ khi và chỉ khi $s$ tương đương môđun $R_q$ với một dãy trong đó hai số hạng liên tiếp bằng nhau. (Lập luận bằng quy nạp theo $q$ và rút gọn về trường hợp một dãy $(s_1, \ldots, s_q)$ không thuộc $\Sigma_q^r$ nhưng sao cho $(s_1, \ldots, s_{q-1})$ và $(s_2, \ldots, s_q)$ thuộc $\Sigma_{q-1}^r$; dùng Bài tập 1 để chỉ ra rằng $s_1 \ldots s_{q-1} = s_2 \ldots s_q$ và áp dụng b).)