Exercice 13, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter. Pour $s, s' \in S$, on définit la suite $a(s, s')$ par les règles suivantes :

(i) si $ss'$ est d’ordre infini, $a(s, s')$ est la suite vide ; (ii) si $ss'$ est d’ordre fini $m$ la suite $a(s, s')$ est de longueur $m$ et ses éléments de rang pair (resp. impair) sont égaux à $s'$ (resp. $s$). On note $a(s, s')$ le produit de la suite $a(s, s')$.

a) Montrer que l’ensemble générateur $S$ et les relations $s^2 = 1$ et $a(s, s') = a(s', s)$ forment une présentation du groupe $W$.

b) Soit $q$ un entier $\geqslant 1$. Soit $\Sigma_q$ l’ensemble des suites de $q$ éléments de $S$ et et soit $R_q$ la plus petite relation d’équivalence dans $\Sigma_q$ pour laquelle les suites de la forme $(A, a(s, s'), B)$ et $(A, a(s', s), B)$ (où $s, s' \in S$ et où $A$ et $B$ sont des suites d’éléments de $S$) sont équivalentes. Soit $\Sigma'_q$ l’ensemble des suites $s = (s_1, \ldots, s_q)$ telles que $w(s) = s_1 \ldots s_q$ soit de longueur $q$. Montrer que les suites $s, s' \in \Sigma'_q$ sont équivalentes modulo $R_q$ si et seulement si l’on a $w(s) = w(s')$ (raisonner par récurrence sur $q$ et appliquer la prop. 5 du no 5.)

c) Montrer que, pour qu’une suite $s \in \Sigma_q$ n’appartienne pas à $\Sigma'_q$, il faut et il suffit que $s$ soit équivalente modulo $R_q$ à une suite ayant deux termes consécutifs égaux. (On raisonnera par récurrence sur $q$ et on se ramènera à étudier le cas d’une suite $(s_1, \ldots, s_q)$ n’appartenant pas à $\Sigma'_q$ mais telle que $(s_1, \ldots, s_{q-1})$ et $(s_2, \ldots, s_q)$ appartiennent à $\Sigma'_{q-1}$; en utilisant l’exerc. 1, on montrera que $s_1 \ldots s_{q-1} = s_2 \ldots s_q$ et on appliquera b).)