Bài tập 14, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và $(\Gamma, f)$ là đồ thị Coxeter của nó. Cho $k$ là một số nguyên $\geqslant 3$. Nếu $a$ là một cạnh của $\Gamma$, đặt $f_k(a) = f(a)$ nếu $f(a) \neq \infty$ và $f_k(a) = k$ nếu $f(a) = \infty$. Cho $(W_k, S)$ là một hệ Coxeter mà đồ thị Coxeter bằng $(\Gamma, f_k)$ (Chương V, § 4, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4). Hãy chỉ ra rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất $\varphi_k$ từ $W$ đến $W_k$ cảm sinh đồng nhất trên $S$. Hãy chỉ ra rằng nếu $k$ chia hết $k'$, thì tồn tại một đồng cấu duy nhất $\varphi_{k,k'}$ từ $W_{k'}$ đến $W_k$ sao cho $\varphi_k = \varphi_{k,k'} \circ \varphi_{k'}$. Hãy chỉ ra rằng đồng cấu $(\varphi_k)$ từ $W$ đến giới hạn xạ ảnh của các $W_k$ là đơn ánh (dùng Bài tập 13) c)), nhưng nói chung không toàn ánh (ví dụ, trong trường hợp của nhóm nhị diện vô hạn).*