Exercice 14, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter et soit $(\Gamma, f)$ son graphe de Coxeter. Soit $k$ un entier $\geqslant 3$; si $a$ est une arête de $\Gamma$, posons $f_k(a) = f(a)$ si $f(a) \neq \infty$ et $f_k(a) = k$ si $f(a) = \infty$. Soit $(W_k, S)$ un système de Coxeter de graphe de Coxeter égal à $(\Gamma, f_k)$ (chap. V, § 4, no 3, cor. de la prop. 4). Montrer qu’il existe un homomorphisme $\varphi_k$ et un seul de $W$ sur $W_k$ induisant l’identité sur $S$. Montrer que si $k$ divise $k'$, il existe un homomorphisme et un seul $\varphi_{k, k'}$ de $W_{k'}$ sur $W_k$ tel que $\varphi_k = \varphi_{k, k'} \circ \varphi_{k'}$. Montrer que l’homomorphisme $(\varphi_k)$ de $W$ dans la limite projective des $W_k$ est injectif (utiliser l’exerc. 13 c)), mais en général non surjectif, (par exemple, dans le cas d’un groupe diédral infini).*