Bài tập 15, § 1

⁷ Cho $A$ là một tập hợp và $\mathscr{C}$ là một tập con của $\mathfrak{P}(A)$. Các phần tử của $\mathscr{C}$ được gọi là các chamber của $A$ và một tập con $F$ của một chamber $C$ được gọi là một facet, đối chiều của $F$ trong $C$ là lực lượng của $C - F$. Một facet $F$ được gọi là một panel của $C$ nếu $F$ có đối chiều 1 trong $C$. Hai chamber $C$ và $C'$ được gọi là kề nhau

⁷ Các Bài tập 15 đến 24, cũng như các Bài tập 3 đến 17 của § 2, cho đến nay chưa được công bố và đã được J. Tits thông báo cho chúng tôi.

nếu chúng có một panel chung F: khi đó hoặc C = C' hoặc F = C ∩ C'. Một gallery độ dài n là một dãy $\Gamma = (C_0, C_1, \ldots, C_n)$ gồm $n + 1$ chamber sao cho $C_i$ và $C_{i+1}$ kề nhau với $0 \leq i \leq n - 1$. Khi đó $C_0$ và $C_n$ được gọi là các đầu mút của $\Gamma$. Gallery $\Gamma$ được gọi là đơn ánh nếu $C_i \neq C_{i+1}$ với $0 \leq i \leq n - 1$ và được gọi là cực tiểu nếu không có gallery nào có cùng các đầu mút và độ dài < n.

Tập hợp A (cùng với $\mathscr{C}$) là một building nếu mọi phần tử của A thuộc về ít nhất một chamber và nếu hai chamber bất kỳ là các đầu mút của một gallery. Khoảng cách giữa hai chamber C và C' là độ dài $d(C, C')$ của một gallery cực tiểu có các đầu mút C và C'.

Một dưới-building của một building A là một tập con D của A sao cho D cùng với $\mathscr{C} \cap \mathfrak{P}(D)$ là một building.

a) Hãy chỉ ra rằng nếu A là một building, thì một facet có cùng đối chiều trong mọi chamber chứa nó; điều này cho phép nói đến đối chiều của một facet và của một panel của A mà không cần quy chiếu đến một chamber riêng biệt nào. Một cấu xạ từ một building B đến A là một ánh xạ $f$ từ B đến A sao cho hạn chế của $f$ lên mọi chamber C của B là một song ánh từ C lên một chamber $f(C)$ của A. Hãy chỉ ra rằng ảnh qua $f$ của một facet của B là một facet có cùng đối chiều.

b) Một công trình được gọi là một căn hộ nếu mỗi panel được chứa trong đúng hai chamber. Chứng minh rằng nếu A là một căn hộ, mọi tự đẳng cấu của A (tức là mọi phép hoán vị của A bảo toàn $\mathscr{C}$) mà giữ cố định mọi điểm của một chamber đều là đồng nhất. Nói chung hơn, cho $\varphi$ là một tự đồng cấu của A và cho C là một chamber của A sao cho $\varphi(a) = a$ với mọi $a \in C$. Cho $(C, C_1, \ldots, C_n)$ là một gallery của A. Chứng minh rằng hoặc gallery $(C, \varphi(C_1), \ldots, \varphi(C_n))$ không đơn ánh, hoặc $\varphi(a) = a$ với mọi $a$ thuộc hợp của các $C_i$.