Exercice 15, § 1

(*) Soient $A$ un ensemble et $\mathfrak{S}$ une partie de $\mathfrak{P}(A)$. Les éléments de $\mathfrak{S}$ seront appelés les chambres de $A$ et une partie $F$ d’une chambre $C$ est appelée une facette, la codimension de $F$ dans $C$ étant le cardinal de $C - F$. On dit que $F$ est une cloison de $C$ si $F$ est de codimension 1 dans $C$. Deux chambres $C$ et $C'$ sont dites mitoyennes si elles ont une cloison $F$ commune : on a alors $C = C'$ ou $F = C \cap C'$. Une galerie de longueur $n$ est une suite $\Gamma = (C_0, C_1, \ldots, C_n)$ de $n + 1$ chambres telle que $C_i$ et $C_{i+1}$ soient mitoyennes pour $0 \leq i \leq n - 1$. On dit que $C_0$ et $C_n$ sont les extrémités de $\Gamma$. La galerie $\Gamma$ est dite injective si $C_i \neq C_{i+1}$ pour $0 \leq i \leq n - 1$ et est dite minimale s’il n’existe pas de galerie ayant mêmes extrémités et de longueur $< n$.

On dit que $A$ (muni de $\mathfrak{S}$) est un immeuble si tout élément de $A$ appartient à au moins une chambre et si deux chambres quelconques sont les extrémités d’une galerie. On appelle alors distance de deux chambres $C$ et $C'$ la longueur $d(C, C')$ d’une galerie minimale d’extrémités $C$ et $C'$.

Un sous-immeuble d’un immeuble $A$ est une partie $D$ de $A$ telle que $D$ muni de $\mathfrak{S} \cap \mathfrak{P}(D)$ soit un immeuble.

a) Montrer que si $A$ est un immeuble, une facette a la même codimension dans toute chambre la contenant, ce qui permet de parler de la codimension d’une facette et d’une cloison de $A$ sans référence à une chambre particulière. Un morphisme d’un immeuble $B$ dans $A$ est une application $f$ de $B$ dans $A$ telle que la restriction de $f$ à toute chambre $C$ de $B$ soit une bijection de $C$ sur une chambre $f(C)$ de $A$. Montrer que l’image par $f$ d’une facette de $B$ est une facette de même codimension.

(*) Les exercices 15 à 24, ainsi que les exercices 3 à 17 du § 2, en grande partie inédits, nous ont été communiqués par J. Tits.

b) On dit qu’un immeuble est un appartement si toute cloison est contenue dans exactement deux chambres. Montrer que si $A$ est un appartement, tout automorphisme de $A$ (i.e. toute permutation de $A$ conservant $\mathfrak{G}$) laissant fixes tous les points d’une chambre est l’identité. Plus généralement, soit $\varphi$ un endomorphisme de $A$ et soit $C$ une chambre de $A$ telle que $\varphi(a) = a$ pour tout $a \in C$; soit $(C, C_1, \ldots, C_n)$ une galerie de $A$. Montrer que, ou bien la galerie $(C, \varphi(C_1), \ldots, \varphi(C_n))$ n’est pas injective, ou bien on a $\varphi(a) = a$ pour tout $a$ appartenant à la réunion des $C_i$.