Bài tập 22, § 1

Ta giữ nguyên ký hiệu của Exerc. 16 và 21.

a) Cho $t \in T$ và $w \in W$. Hãy chứng minh rằng các phòng $C$ và $w(C)$ bị ngăn cách bởi tường $L_t$ khi và chỉ khi $l(tw) < l(w)$ (sử dụng phép gấp được xác định bởi nửa $A^+(t)$).

b) Cho $w_0 \in W$. Hãy chứng minh rằng các điều kiện sau tương đương:

với mọi $t \in T$, các phòng $C$ và $w_0(C)$ bị ngăn cách bởi tường $L_t$ (iii)

(Sử dụng Exerc. 16 h) để chứng minh rằng (iii) $\Longrightarrow$ (i).) Hãy chứng minh rằng một phần tử $w_0$ như vậy là duy nhất và tồn tại khi và chỉ khi $W$ hữu hạn. Khi đó nó là phần tử có độ dài lớn nhất của $W$ và được đặc trưng bởi

Hơn nữa, $w_0^2 = 1, w_0Sw_0 = S$ và $l(w_0) = \mathrm{Card}(T)$.

c) Giả sử rằng $W$ hữu hạn. Hãy chứng minh rằng, với mọi phòng $C_0$, tồn tại duy nhất một phòng $-C_0$ sao cho $C_0 \cup (-C_0)$ không được chứa trong bất kỳ nửa nào của $A$. Hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tự đẳng cấu đối hợp $\varphi$ của $A$ (không nhất thiết được cho phép sao cho $\varphi(C_0) = -C_0$ với mọi phòng $C_0$ và $\varphi(L) = L$ với mọi tường $L$ của $A$. Ta đặt $\varphi(a) = -a$ với $a \in A$. Nếu $F$ là một diện, diện $-F = \varphi(F)$ được gọi là đối diện với $F$.

d) Cho $C_0$ là một phòng của $A$ và $F$ là một phân hoạch của $C_0$. Hãy chứng minh rằng bao lồi của $C_0 \cup (-F)$ là nửa của $A$ được xác định bởi tường $L$ là giá của $F$ và chứa $C_0$.