Exercice 22, § 1

On garde les notations des exerc. 16 et 21. a) Soient $t \in T$ et $w \in W$. Montrer que les chambres $C$ et $w(C)$ sont séparées par le mur $L_t$ si et seulement si $l(tw) < l(w)$ (utiliser le pliage sur la moitié $A^+(t)$). b) Soit $w_0 \in W$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $l(ww_0) = l(w_0) - l(w)$ pour tout $w \in W$; (ii) $l(tw_0) < l(w_0)$ pour tout $t \in T$;

(iii) quel que soit $t \in T$, les chambres $C$ et $w_0(C)$ sont séparées par le mur $L_t$. (Utiliser l’exerc. 16 h) pour montrer que (iii) $\Longrightarrow$ (i).) Montrer qu’un tel élément $w_0$ est unique et existe si et seulement si $W$ est fini. C’est alors l’élément de plus grande longueur de $W$ et il est caractérisé par :

(iv) $l(sw_0) < l(w_0)$ pour tout $s \in S$.

De plus, on a $w_0^2 = 1$, $w_0Sw_0 = S$ et $l(w_0) = \mathrm{Card}(T)$.

c) On suppose $W$ fini. Montrer que, pour toute chambre $C_0$, il existe une chambre — $C_0$ et une seule telle que $C_0 \cup (-C_0)$ ne soit contenue dans aucune moitié de $A$. Montrer qu’il existe un automorphisme involutif (non nécessairement permis) $\varphi$ et un seul de $A$ tel que $\varphi(C_0) = -C_0$ pour toute chambre $C_0$ et que $\varphi(L) = L$ pour tout mur $L$ de $A$. On posera $\varphi(a) = -a$ pour $a \in A$. Si $F$ est une facette, la facette — $F = \varphi(F)$ sera dite opposée à $F$. d) Soit $C_0$ une chambre de $A$ et soit $F$ une cloison de $C_0$. Montrer que l’enveloppe convexe de $C_0 \cup (-F)$ est la moitié de $A$ déterminée par le mur $L$ de support $F$, et contenant $C_0$.