Bài tập 24, § 1

Một building có cấu trúc là một building $I$ được trang bị một tập hợp $\mathfrak{U}$ các building con thỏa mãn các điều kiện sau:

(SB 1) Các building con $A \in \mathfrak{U}$ là các apartment.

(SB 2) Hai chamber bất kỳ của I được chứa trong ít nhất một phần tử của $\mathscr{U}$. (SB 3) Nếu $A_1, A_2 \in \mathscr{U}$ sao cho $A_1 \cap A_2$ chứa một chamber, thì tồn tại một đẳng cấu từ $A_1$ vào $A_2$ giữ cố định các điểm của $A_1 \cap A_2$.

Cho $(I, \mathscr{U})$ là một building có cấu trúc. Các phần tử của $\mathscr{U}$ được gọi là các apartment của $(I, \mathscr{U})$, hoặc đơn giản là các apartment của I.

a) Chứng minh rằng hai apartment bất kỳ của I là đẳng cấu. Cho C là một chamber của I và A là một apartment của I chứa C. Chứng minh rằng tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $\rho$ của I (gọi là phép co rút với tâm C của I lên A) sao cho $\rho(a) = a$ với mọi $a \in A$ và sao cho, với mọi apartment $A'$ chứa C, hạn chế của $\rho$ lên $A'$ là một đẳng cấu từ $A'$ vào A (nhận xét rằng, theo (SB 2) và Bài tập 15 b), với mọi apartment $A'$ chứa C, tồn tại một đẳng cấu duy nhất $\rho_{A'}$ của $A'$ giữ cố định mọi điểm của C). Chứng minh rằng $\rho^2 = \rho$ và $\rho^{-1}(C) = C$.

b) Cho A là một apartment của I, $C_0$ là một chamber và F là một facet được chứa trong A. Cho $(C_0, C_1, \ldots, C_n)$ là một gallery có độ dài nhỏ nhất có thể sao cho $F \subset C_n$. Chứng minh rằng $C_i \subset A$ với $1 \leq i \leq n$ (lập luận bằng phản chứng: nếu $C_i \subset A$ và $C_{i+1} \notin A$, xét phép co rút của I lên A với tâm là chamber của A phân biệt với $C_i$ và chứa $C_i \cap C_{i+1}$).

c) Cho A là một apartment của I, C là một chamber của A, F là một panel của C, $C'$ là một chamber của I và $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n = C')$ là một gallery có độ dài nhỏ nhất có thể sao cho $F \subset C_0$. Chứng minh rằng phép co rút $\rho$ của I lên A với tâm C biến $\Gamma$ thành một gallery

có độ dài nhỏ nhất có thể sao cho $F \subset C'_0$ (xét một apartment $A'$ chứa $C'$ và F và áp dụng b) cùng với việc hạn chế của $\rho$ lên $A'$ là một đẳng cấu).

d) Cho A là một căn phòng, $C_1$ và $C_2$ là hai buồng lân cận phân biệt được chứa trong A, $C'$ là một buồng chứa $C_1 \cap C_2$ và phân biệt với $C_1$ và $C_2$, và $A'_i$ là một căn phòng chứa $C_i$ và $C'$ (với $i = 1, 2$). Gọi $\varphi_i$ (tương ứng $\psi_i$) là phép co rút của I lên A (tương ứng $A'_i$) với tâm $C_i$ (tương ứng $C'$) và gọi $\rho_i$ là hạn chế của $\varphi_i \circ \psi_i$ lên A. Cho C là một buồng của A; hãy chứng minh rằng nếu

thì $\rho_1(a) = a$ với mọi $a \in C$ và $d(C, C_1) < d(C, C_2)$ (xét một gallery cực tiểu $\Gamma$ có hai đầu mút là C và $C_1$ và áp dụng c) để chứng minh rằng $\rho_1(\Gamma)$ là cực tiểu; sau đó sử dụng Bài tập 15 b)). Chứng minh rằng, nếu $d(C, C_2) < d(C, C_1)$, thì $\rho_1(C) \neq C$ và $\rho_1^2(C) = \rho_1(C)$ (lấy một gallery cực tiểu $\Gamma$ có hai đầu mút là C và $C_2$ và dùng c) để chứng minh rằng $\rho_1(\Gamma)$ là một gallery có độ dài nhỏ nhất có thể, có một đầu mút bằng $\rho_1(C)$ và đầu mút kia chứa $C_1 \cap C_2$; suy ra rằng $d(C_1, \rho_1(C_1)) \leq d(C_2, \rho_1(C_1))$).

Chứng minh rằng $\rho_i$ là một phép gấp (Bài tập 19) của A (chứng minh rằng $A = \rho_1(A) \cup \rho_2(A)$) và định nghĩa một tự đẳng cấu đối hợp $\sigma$ của A bằng cách đặt $\sigma(a) = \rho_2(a)$ nếu $a \in \rho_1(A)$ và $\sigma(a) = \rho_1(a)$ nếu $a \in \rho_2(A)$; chứng minh rằng nếu C là một buồng được chứa trong $\rho_1(A)$, thì $\rho_1^{-1}(C) = \{ C, \rho_2(C) \}$.

e) Cho $I$ là một building có cấu trúc rộng, nghĩa là mọi panel đều được chứa trong ít nhất ba chamber. Chứng minh rằng tồn tại một hệ Coxeter $(W, S)$, duy nhất theo đẳng cấu, sao cho các apartment của $I$ đẳng cấu với apartment $A_0$ liên kết với $(W, S)$ (dùng $d$ và Bài tập 19)). Cho $A$ là một apartment của $I$ và $\varphi$ là một đẳng cấu từ $A_0$ vào $A$. Chứng minh rằng tồn tại một đánh số duy nhất của $I$, với các giá trị trong $S$, sao cho các kiểu của $a$ và $\varphi(a)$ bằng nhau với mọi $a \in A_0$ (chọn một chamber $C$ của $A$ và chứng minh, bằng cách sử dụng $b$), rằng, nếu $A'$ và $A''$ là hai apartment của $I$ chứa $C$, thì các đánh số của $A'$ và $A''$ mở rộng đánh số được xác định trên $C$ trùng nhau trên $A' \cap A''$.

Ta sẽ gọi hệ Coxeter $(W, S)$ và đánh số thu được như vậy là thích nghi với $I$.

Chứng minh rằng các phép rút được đưa vào trong a) là các tự đồng cấu được phép. Chứng minh rằng một tập con của $I$ được chứa trong một apartment $A$ của $I$ là lồi trong $I$ khi và chỉ khi nó lồi trong $A$ (Bài tập 20).

f) Ta giữ nguyên ký hiệu của e) và cho $\mathscr{U}$ là tập hợp các đẳng cấu được phép từ $A_0$ đến các apartment khác nhau của $I$. Chứng minh rằng, nếu $\varphi, \psi \in \mathscr{U}$ và nếu $C$ là một chamber và $F$ là một facet của $I$ được chứa trong $\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$, thì tồn tại một phần tử $w \in W$ sao cho $\psi^{-1}(C) = w \varphi^{-1}(C)$ và $\psi^{-1}(F) = w \varphi^{-1}(F)$ (xét một đẳng cấu $\lambda$ từ $\varphi(A_0)$ vào $\psi(A_0)$ giữ cố định các điểm của $\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$ và áp dụng Bài tập 21 b) cho tự đẳng cấu $\psi^{-1} \circ \lambda \circ \varphi^{-1}$ của $A_0$.