Exercice 24, § 1

On appelle immeuble structuré un immeuble $I$ muni d’un ensemble $\mathscr{A}$ de sous-immeubles satisfaisant aux conditions suivantes : (IS 1) Les sous-immeubles $A \in \mathscr{A}$ sont des appartements. (IS 2) Deux chambres de $I$ sont contenues dans au moins un même élément de $\mathscr{A}$. (IS 3) Quels que soient $A_1, A_2 \in \mathscr{A}$ tels que $A_1 \cap A_2$ contienne une chambre, il existe un isomorphisme de $A_1$ sur $A_2$ laissant fixes les points de $A_1 \cap A_2$.

Soit $(I, \mathscr{A})$ un immeuble structuré. Les éléments de $\mathscr{A}$ sont appelés les appartements de $(I, \mathscr{A})$, ou plus simplement de $I$.

a) Montrer que les appartements de $I$ sont deux à deux isomorphes. Soient $C$ une chambre de $I$ et $A$ un appartement de $I$ contenant $C$. Montrer qu’il existe un endomorphisme $\rho$ et un seul de l’immeuble $I$ (appelé la rétraction de centre $C$ de $I$ sur $A$) tel que $\rho(a) = a$ pour tout $a \in A$ et que, pour tout appartement $A'$ contenant $C$, la restriction de $\rho$ à $A'$ soit un isomorphisme de $A'$ sur $A$ (en utilisant (IS 2) et l’exerc. 15 b), on remarquera que, pour tout appartement $A'$ contenant $C$, il existe un unique isomorphisme $\rho_A$, de $A'$ laissant fixes tous les points de $C$. Montrer que $\rho^2 = \rho$ et que $\rho^{-1}(C) = C$.

b) Soient $A$ un appartement de $I$, $C_0$ une chambre et $F$ une facette contenues dans $A$. Soit $(C_0, C_1, \ldots, C_n)$ une galerie de plus petite longueur possible telle que $F \subset C_n$. Montrer que $C_i \subset A$ pour $1 \leq i \leq n$ (on raisonnera par l’absurde : si $C_i \subset A$ et $C_{i+1} \notin A$, considérer la rétraction de $I$ sur $A$ ayant pour centre la chambre de $A$ distincte de $C_i$ et contenant $C_i \cap C_{i+1}$).

c) Soient $A$ un appartement de $I$, $C$ une chambre de $A$, $F$ une cloison de $C$, $C'$ une chambre de $I$ et $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n = C')$ une galerie telle que $F \subset C_0$, de plus petite longueur possible. Montrer que la rétraction $\rho$ de $I$ sur $A$ de centre $C$ transforme $\Gamma$ en une galerie

telle que $F \subset C'_0$, de plus petite longueur possible (considérer un appartement $A'$ contenant $C'$ et $F$, appliquer $b$) et le fait que la restriction de $\rho$ à $A'$ est un isomorphisme).

d) Soient $A$ un appartement, $C_1$ et $C_2$ deux chambres mitoyennes distinctes contenues dans $A$, $C'$ une chambre contenant $C_1 \cap C_2$ et distincte de $C_1$ et $C_2$, $A'_i$ un appartement contenant $C_i$ et $C'$ (pour $i = 1,2$). Soit $\varphi_i$ (resp. $\psi_i$) la rétraction de $I$ sur $A$ (resp. $A'_i$) de centre $C_i$ (resp. $C'$) et soit $\rho_i$ la restriction de $\varphi_i \circ \psi_i$ à $A$. Soit $C$ une chambre de $A$; montrer que si

on a $\rho_1(a) = a$ pour tout $a \in C$ et $d(C, C_1) < d(C, C_2)$ (considérer une galerie minimale $\Gamma$ d’extrémités $C$ et $C_1$ et appliquer $c$) pour montrer que $\rho_1(\Gamma)$ est minimale; utiliser alors l’exerc. 15 b)). Montrer que, si $d(C, C_2) < d(C, C_1)$, on a $\rho_1(C) \neq C$ et $\rho_1^2(C) = \rho_1(C)$ (prendre une galerie minimale $\Gamma$ d’extrémités $C$ et $C_2$ et utiliser $c$) pour montrer que $\rho_1(\Gamma)$ est une galerie ayant une extrémité égale à $\rho_1(C)$ et l’autre contenant $C_1 \cap C_2$, de plus petite longueur possible; en déduire que $d(C_1, \rho_1(C_1)) \leq d(C_2, \rho_1(C_1)))$.

Montrer que $\rho_i$ est un pliage (exerc. 19) de $A$ (montrer que $A = \rho_1(A) \cup \rho_2(A)$ et définir un automorphisme involutif $\sigma$ de $A$ en posant $\sigma(A) = \rho_2(a)$ si $a \in \rho_1(A)$ et $\sigma(a) = \rho_1(a)$ si $a \in \rho_2(A)$; montrer que si $C$ est une chambre contenue dans $\rho_1(A)$, on a $\rho_1^{-1}(C) = \{C, \rho_2(C)\}$).

e) Soit $I$ un immeuble structuré spacieux, c’est-à-dire tel que toute cloison soit contenue dans au moins trois chambres. Montrer qu’il existe un système de Coxeter $(W, S)$ et un seul à isomorphisme près tel que les appartements de $I$ soient isomorphes à l’appartement $A_0$ associé à $(W, S)$ (utiliser $d$) et l’exerc. 19). Soient $A$ un appartement de $I$ et $\varphi$ un isomorphisme de $A_0$ sur $A$. Montrer qu’il existe un numérotage de $I$ et un seul, à valeurs dans $S$, tel que les types de $a$ et $\varphi(a)$ soient égaux pour tout $a \in A_0$ (choisir une chambre $C$ de $A$ et montrer, en utilisant $b$), que, si $A'$ et $A''$ sont deux appartements de $I$ contenant $C$, les numérotages de $A'$ et $A''$ prolongeant celui déterminé sur $C$ coïncident sur $A' \cap A''$).

On dira que le système de Coxeter $(W, S)$ et le numérotage ainsi obtenus sont adaptés à $I$.

Montrer que les rétractions introduites en $a$ sont des endomorphismes permis. Montrer qu’une partie de $I$ contenue dans un appartement $A$ de $I$ est convexe dans $I$ si et seulement si elle convexe dans $A$ (exerc. 20).

f) Gardons les notations de $e$ et soit $\mathfrak{J}$ l’ensemble des isomorphismes permis de $A_0$ sur les divers appartements de $I$. Montrer que si $\varphi, \psi \in \mathfrak{J}$ et si $C$ est une chambre et $F$ une facette de $I$ contenues dans $\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$, il existe un élément $w \in W$ tel que $\psi^{-1}(C) = w \varphi^{-1}(C)$ et $\psi^{-1}(F) = w \varphi^{-1}(F)$ (considérer un isomorphisme $\lambda$ de $\varphi(A_0)$ sur $\psi(A_0)$ laissant fixes les points de $\varphi(A_0) \cap \psi(A_0)$ et appliquer l’exerc. 21 b) à l’automorphisme $\psi^{-1} \circ \lambda \circ \varphi^{-1}$ de $A_0$).