Bài tập 3, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và $X, Y$ là hai tập con của $S$. Cho $a \in W$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $w \in W_X a W_Y$ có độ dài cực tiểu và rằng mọi phần tử

có thể được viết dưới dạng $w' = x w y$, với $x \in W_X, y \in W_Y$ và $l(w') = l(x) + l(w) + l(y)$ (lấy một phần tử có độ dài cực tiểu trong $W_X a W_Y$ và dùng Exerc. 1). Một phần tử $w \in W$ được gọi là $(X, Y)$-rút gọn nếu nó là phần tử có độ dài cực tiểu trong lớp kép $W_X a W_Y$. Chứng minh rằng nếu $w$ là $(X, \varnothing)$-rút gọn thì $l(x w) = l(x) + l(w)$ với mọi $x \in W_X$, và rằng mọi phần tử của $W$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $x w$ trong đó $x \in W_X$ và $w$ là $(X, \varnothing)$-rút gọn. Chứng minh rằng một phần tử $w \in W$ là $(X, \varnothing)$-rút gọn khi và chỉ khi $l(xw) > l(w)$ với mọi $x \in X$ (viết $w$ dưới dạng $yw'$, trong đó $y \in W_X$ và $w'$ là $(X, \varnothing)$-rút gọn).

Chứng minh rằng $w \in W$ là $(X, Y)$-rút gọn khi và chỉ khi $w$ đồng thời là $(X, \varnothing)$-rút gọn và $(\varnothing, Y)$-rút gọn.