Exercice 3, § 1

Soient (W, S) un système de Coxeter et X, Y deux parties de S. Soit $a \in W$. Montrer qu’il existe un élément $w \in W_X a W_Y$ de longueur minimum et un seul et que tout élément

s’écrit sous la forme $w' = x w y$, avec $x \in W_X, y \in W_Y$ et $l(w') = l(x) + l(w) + l(y)$ (on prendra un élément de longueur minimum dans $W_X a W_Y$ et on utilisera l’exerc. 1). On dit qu’un élément $w \in W$ est (X, Y)-réduit si c’est l’élément de longueur minimum dans la double classe $W_X w W_Y$.

Montrer que si $w$ est (X, $\varnothing$)-réduit, on a $l(x w) = l(x) + l(w)$ pour tout $x \in W_X$ et que tout élément de W s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme $x w$, où $x \in W_X$ et $w$ est (X, $\varnothing$)-réduit. Montrer qu’un élément $w \in W$ est (X, $\varnothing$)-réduit si et seulement si l’on a $l(x w) > l(w)$ pour tout $x \in X$ (écrire $w$ sous la forme $y w'$, où $y \in W_X$ et $w'$ est (X, $\varnothing$)-réduit).

Montrer que pour que $w \in W$ soit (X,Y)-réduit, il faut et il suffit que $w$ soit à la fois (X,$\varnothing$)-réduit et ($\varnothing$,Y)-réduit.