Bài tập 5, § 1

Cho $X$ là một tập hợp không rỗng và $W$ là một tập hợp các phép hoán vị của $X$. Giả sử đã cho một tập hợp $\mathscr{R}$ các quan hệ tương đương trên $X$, một phần tử $x_0 \in X$ và một ánh xạ $\varphi : H \mapsto s_H$ từ $\mathscr{R}$ vào $W$. Ký hiệu bởi $\mathscr{R}_0$ tập hợp các $H \in \mathscr{R}$ sao cho $s_H(x_0) \equiv x_0 \mod. H'$ với mọi $H' \neq H$ trong $\mathscr{R}$, và bởi $S_0$ tập hợp các $s_H$ ứng với $H$ trong $\mathscr{R}_0$. Ta đưa ra các giả thiết sau:

(i) Với mọi $H \in \mathscr{R}$, có hai lớp tương đương modulo $H$ được hoán vị bởi $s_H$ và $s_H^2 = 1$.

(ii) Với mọi $H \in \mathscr{R}$ và mọi $w \in W$, biến đổi $w(H)$ của $H$ bởi $w$ là một quan hệ tương đương thuộc $\mathscr{R}$ và $s_{w(H)} = ws_Hw^{-1}$.

(iii) Với mọi $w \neq 1$ trong $W$, tập hợp các $H \in \mathscr{R}$ sao cho $w(x_0) \not\equiv x_0 \mod. H$ là hữu hạn và giao với $\mathscr{R}_0$.

a) Chứng minh rằng $(W, S_0)$ là một hệ Coxeter (sử dụng Mệnh đề 6 của no. 7).

b) Chứng minh rằng độ dài $l_{S_0}(w)$ bằng số các phần tử $H \in \mathscr{R}$ sao cho

c) Cho $E$ là một tập hợp hữu hạn và $X$ là tập hợp các quan hệ thứ tự toàn phần trên $X$. Ký hiệu $W$ là nhóm các phép hoán vị của $E$, tác động theo cách hiển nhiên lên $E$. Cho $i$ và $j$ là các phần tử phân biệt của $E$; nói rằng hai phần tử $R$ và $R'$ của $X$ là tương đương mod. $H_{ij}$ nếu hoặc $R(i, j)$ và $R'(i, j)$ hoặc $R(j, i)$ và $R'(j, i)$; và ký hiệu phép chuyển vị của $i$ và $j$ bởi $s_{ij}$. Cho $\mathscr{R}$ là tập hợp các quan hệ tương đương có dạng $H_{ij}$ và $\varphi$ là ánh xạ từ $\mathscr{R}$ vào $W$ được xác định bởi $\varphi(H_{ij}) = s_{ij}$; cuối cùng cho $x_0$ là một phần tử tùy ý của $X$. Chứng minh rằng các đối tượng được xác định như vậy thỏa mãn các giả thiết (i) đến (iii), và khôi phục các kết quả của Bài tập 4.