Exercice 5, § 1

Soient X un ensemble non vide et W un ensemble de permutations de X. On suppose donnés un ensemble $\mathscr{L}$ de relations d’équivalence dans X, un élément $x_0 \in X$ et une application $\varphi : H \mapsto s_H$ de $\mathscr{L}$ dans W. On note $\mathscr{L}_0$ l’ensemble des $H \in \mathscr{L}$ tels que $s_H(x_0) \equiv x_0$ mod. $H'$ pour tout $H' \neq H$ dans $\mathscr{L}$, et $S_0$ l’ensemble des $s_H$ pour $H$ dans $\mathscr{L}_0$. On fait les hypothèses suivantes :

(i) Pour tout $H \in \mathscr{L}$, il y a deux classes d’équivalence modulo H qui sont permutées par $s_H$ et l’on a $s_H^2 = 1$.

(ii) Pour tout $H \in \mathscr{L}$ et tout $w \in W$, la relation d’équivalence $w(H)$ transformée de $H$ par $w$ appartient à $\mathscr{L}$ et l’on a $s_{w(H)} = ws_H w^{-1}$.

(iii) Pour tout $w \neq 1$ dans $W$, l’ensemble des $H \in \mathscr{L}$ tels que $w(x_0) \equiv x_0 \mod H$ est fini et rencontre $\mathscr{L}_0$.

a) Prouver que $(W, S_0)$ est un système de Coxeter (utiliser la prop. 6 du n° 7).

b) Prouver que la longueur $l_{s_0}(w)$ est égale au nombre d’éléments $H \in \mathscr{L}$ tels que

c) Soient $E$ un ensemble fini et $X$ l’ensemble des relations d’ordre total sur $E$. On note $W$ le groupe des permutations de $E$, agissant de manière évidente sur $X$. Soient $i$ et $j$ distincts dans $E$; on dit que deux éléments $R$ et $R'$ de $X$ sont équivalents mod. $H_{ij}$ si l’on a à la fois $R(i, j)$ et $R'(i, j)$ ou bien $R(j, i)$ et $R'(j, i)$; on note $s_{ij}$ la transposition de $i$ et $j$. Soient $\mathscr{P}$ l’ensemble des relations d’équivalence de la forme $H_{ij}$ et $\varphi$ l’application de $\mathscr{P}$ dans $W$ définie par $\varphi(H_{ij}) = s_{ij}$; enfin soit $x_0$ un élément quelconque de $X$. Montrer que ces données satisfont aux hypothèses (i) à (iii), et retrouver les résultats de l’exerc. 4.