Bài tập 7, § 2

Cho X và Y là hai đa tạp thực thuộc lớp $C^r(1\leq r\leq \omega )$, tách biệt, liên thông và có chiều $n$; cho $f: X\rightarrow Y$ là một cấu xạ thực sự thuộc lớp $C^r$, được trang bị một định hướng F (Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 10.2.5).

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số thực $d$ sao cho $\int_Xf^*\alpha =d\int_Y\alpha$ với mọi dạng vi phân xoắn $\alpha$ bậc $n$ trên Y, thuộc lớp $C^1$ và có giá compact (dùng Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 11.2.4). b) Cho $y\in Y$ sao cho $f$ là étale tại mọi điểm của $f^{-1}(y)$. Với $x\in f^{-1}(y)$, đặt $\nu_x(f) = 1$ (resp. $\nu_x(f) =-1$) nếu các ánh xạ $F_x$ và $\widetilde{f}_x($Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 10.2.5, Ví dụ $b))$ từ Or(T$_x(X)$) tới Or(T$_y(Y)$) trùng nhau (resp. đối nhau). Chứng minh rằng $d=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\nu_x(f)$ và, đặc biệt, rằng $d\in \mathbf{Z}$.

Ta gọi $d$ là bậc của $f$ và ký hiệu nó là deg $f$. Nếu X = Y và X khả định hướng, ta có thể lấy cho F định hướng bảo toàn định hướng của X.

c) Chứng minh rằng, nếu deg $f\not= 0$ thì $f$ là toàn ánh.

d) Nếu tồn tại $x\in X$ sao cho $f^{-1}(f(x)) =\{x\}$ và sao cho $f$ là étale tại $x$, thì $f$ là toàn ánh.