Exercice 7, § 2

Soient $X$ et $Y$ deux variétés réelles de classe $C^r$ ($1 \leq r \leq \omega$), séparées, connexes de dimension $n$; soit $f : X \to Y$ un morphisme de classe $C^r$, propre, muni d’une orientation $F$ (VAR, R, 10.2.5).

a) Montrer qu’il existe un nombre réel $d$ et un seul tel qu’on ait $\int_X f^*\alpha = d \int_Y \alpha$ pour toute forme différentielle tordue $\alpha$ de degré $n$ sur $Y$, de classe $C^1$, à support compact (utiliser VAR, R, 11.2.4). b) Soit $y \in Y$ tel que $f$ soit étale en tout point de $f^{-1}(y)$. Pour $x \in f^{-1}(y)$, on pose $v_x(f) = 1$ (resp. $v_x(f) = -1$) si les applications $F_x$ et $\tilde{f}_x$ (VAR, R, 10.2.5, exemple b)) de $\mathrm{Or}(T_x(X))$ dans $\mathrm{Or}(T_y(Y))$ coïncident (resp. sont opposées). Démontrer qu’on a $d = \sum_{x \in f^{-1}(y)} v_x(f)$, et en particulier $d \in \mathbf{Z}$. On dit que $d$ est le degré de $f$ et on le note $\deg f$. Si $X = Y$ et si $X$ est orientable, on convient de prendre pour $F$ l’orientation qui préserve l’orientation de $X$. c) Si $\deg f \neq 0$, montrer que $f$ est surjectif. d) S’il existe $x \in X$ tel que $f^{-1}(f(x)) = \{ x \}$ et que $f$ soit étale en $x$, $f$ est surjectif.