Bài tập 8, § 2

Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, $dg$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên G.

a) Cho $f: G\rightarrow G$ là một cấu xạ của các đa tạp; với $g\in G$, vi phân $T_g(f)$ có thể được đồng nhất, nhờ các phép tịnh tiến trái, với một ánh xạ tuyến tính từ L(G) vào L(G). Chứng minh các công thức

deg $f.\int_G\varphi (g)dg=\int_G\varphi (f(g$))det $T_g(f)dg$

với mọi hàm khả tích nhận giá trị phức $\varphi$ trên G, và

deg $f=\int_G$ det $T_g(f)dg$.

b) Cho $\psi_k: G\rightarrow G$ là ánh xạ $g \rightarrow g^k$. Chứng minh công thức

deg $\psi_k=\int_G$ det(1 + Ad $g+\cdots +$ (Ad $g$)$^{k-1}$)$dg$.

c) Cho T là một xuyến cực đại của G, và $T_r$ là tập hợp các phần tử chính quy của T. Chứng minh rằng exp$^{-1}_G(T_r)\subset L(T)$ và $\psi_k^{-1}(T_r)\subset T_r$ với mọi $k\geq 1$.

d) Chứng minh rằng deg $\psi_k=k^{dim(T)}$; suy ra đẳng thức $\int_G$ det(1 + Ad $g+\cdots +$ (Ad $g$)$^{k-1}$)$dg=k^{dim(T)}$.