Exercice 8, § 2

Soient $G$ un groupe de Lie compact connexe, $dg$ la mesure de Haar normalisée de $G$. a) Soit $f : G \to G$ un morphisme de variétés ; pour $g \in G$, on identifie par translations à gauche la différentielle $T_g(f)$ à une application linéaire de $L(G)$ dans $L(G)$. Démontrer les formules

pour toute fonction $\varphi$ intégrable sur $G$ (à valeurs complexes), et $\deg f = \int_G \det T_g(f) \, dg$. b) Soit $\psi_k : G \to G$ l’application $g \mapsto g^k$. Démontrer la formule c) Soient $T$ un tore maximal de $G$, et $T_r$ l’ensemble des éléments réguliers de $T$. Montrer qu’on a $\exp_G^{-1}(T_r) \subset L(T)$ et $\psi_k^{-1}(T_r) \subset T_r$ pour tout $k \geq 1$. d) Montrer qu’on a $\deg \psi_k = k^{\dim(T)}$; en déduire l’égalité