Bài tập 3, § 3

a) Chỉ ra rằng đại số Lie của nhóm Lie thực $\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$ là tập hợp các ma trận $x\in M_n(\mathbf{H})$ sao cho $^t\overline{x}=-x$, với dấu ngoặc $[x, y] =xy-yx$. Ký hiệu nó bởi $\mathfrak{u}(n,\mathbf{H})$.

b) Đồng nhất $\mathbf{C}$ với trường con $\mathbf{R}(i)$ của $\mathbf{H}$, và $\mathbf{C}^{2n}$ với $\mathbf{H}^n$ bởi đẳng cấu $(z_1, . . . , z_{2n}) \rightarrow (z_1+jz_{n+1}, . . . , z_n+jz_{2n})$. Chứng minh đẳng thức $\mathbf{U}(n,\mathbf{H}) =\mathbf{U}(2n,\mathbf{C})\cap \mathbf{S}\mathbf{p}(2n,\mathbf{C})$.

c) Suy ra từ b) rằng mọi đại số Lie đơn compact (thực) kiểu $C_n$ đều đẳng cấu với $\mathfrak{u}(n,\mathbf{H})$.