Exercice 3, § 3

a) Montrer que l’algèbre de Lie du groupe de Lie réel $\mathbf{U}(n, \mathbf{H})$ est l’ensemble des matrices $x \in \mathbf{M}_n(\mathbf{H})$ telles que $^t\overline{x} = -x$, muni du crochet $[x, y] = xy - yx$. On la note $u(n, \mathbf{H})$. b) On identifie $\mathbf{C}$ au sous-corps $\mathbf{R}(i)$ de $\mathbf{H}$, et $\mathbf{C}^{2n}$ à $\mathbf{H}^n$ par l’isomorphisme $(z_1, ..., z_{2n}) \mapsto (z_1 + jz_{n+1}, ..., z_n + jz_{2n})$. Démontrer l’égalité $\mathbf{U}(n, \mathbf{H}) = \mathbf{U}(2n, \mathbf{C}) \cap \mathbf{Sp}(2n, \mathbf{C})$. c) Déduire de b) que toute algèbre de Lie (réelle) simple compacte de type $C_n$ est isomorphe à $u(n, \mathbf{H})$.