Bài tập 10, § 4

Ta giữ lại các ký hiệu của bài tập trước.

a) Giả sử rằng dim Z = 1. Khi đó có đúng hai cấu trúc phức trên $G/H$ bất biến dưới G; tồn tại một tự đẳng cấu của G giữ H ổn định và hoán đổi hai cấu trúc này (dùng Bài tập 8).

b) Xác định các cấu trúc phức trên $\mathbf{P}_n(\mathbf{C})$ bất biến dưới $\mathbf{S}\mathbf{U}(n+1,\mathbf{C})$. c) Giả sử rằng dim Z = 0 và Card(Z) $\not= 2$. Chứng minh rằng tồn tại các cấu trúc phức gần trên $G/H$ bất biến dưới G (nếu $z$ là một phần tử của C(H) không trung tâm trong G, Int $z$ cảm sinh một tự đẳng cấu của $G/H$ có cấp lẻ (Bài tập 9); dùng Bài tập $8b$)$)$. Chứng minh rằng không có cấu trúc phức nào trên $G/H$ bất biến dưới G (dùng Bài tập $8d$)$)$.

d) Không có cấu trúc phức nào trên $\mathbf{S}_6$ bất biến dưới $\mathbf{S}\mathbf{O}(7,\mathbf{R})$ (dùng Bài tập 7 của §3).