Exercice 10, § 4

On garde les notations de l’exercice précédent. a) On suppose $\dim Z = 1$. Alors il y a exactement deux structures complexes sur $G/H$ invariantes par G ; il existe un automorphisme de G qui laisse H stable et échange ces deux structures (utiliser l’exerc. 8). b) Déterminer les structures complexes sur $P_n(\mathbf{C})$ invariantes par $SU(n+1, \mathbf{C})$. c) On suppose $\dim Z = 0$ et $Card(Z) \neq 2$. Montrer qu’il existe des structures presque complexes sur $G/H$ invariantes par G (si z est un élément de $C(H)$ non central dans G, Int z induit un automorphisme d’ordre impair de $G/H$ (exerc. 9); utiliser l’exerc. 8, b)). Montrer qu’il n’existe aucune structure complexe sur $G/H$ invariant par G (utiliser l’exerc. 8, d)). d) Il n’existe aucune structure complexe sur $S_6$ invariant par SO(7, $\mathbf{R}$) (utiliser l’exerc. 7 du § 3).