Bài tập 11, § 4

Ta giữ các ký hiệu của Bài tập 9 và 10.

a) Không gian thuần nhất $G/H$ là đối xứng (§1, Bài tập 8) khi và chỉ khi Z có cấp 2 hoặc có chiều 1. Khi đó không gian đối xứng $G/H$ là bất khả quy (loc. cit.).

b) Giả sử dim Z = 1; ký hiệu X là đa tạp giải tích phức $G/H$. Chứng minh rằng khi đó ta ở trong một trong các tình huống sau:

(i) G có kiểu $A_l$ và D(H) có kiểu $A_{p-1}\times A_{l-p}$; X đẳng cấu với đa tạp Grassmann $\mathbf{G}_p(\mathbf{C}^{l+1})$.

(ii) G có kiểu $B_l$ và D(H) có kiểu $B_{l-1}$; X đẳng cấu với đa tạp con của $\mathbf{P}_{2l}(\mathbf{C})$ được xác định bởi sự triệt tiêu của một dạng toàn phương tách (quadric xạ ảnh trơn).

(ii$'$) $G$ có kiểu $D_l$ và D(H) có kiểu $D_{l-1}$; X đẳng cấu với một quadric xạ ảnh trơn trong $\mathbf{P}_{2l-1}(\mathbf{C})$.

(iii) G có kiểu $C_l$ và D(H) có kiểu $A_{l-1}$; X đẳng cấu với đa tạp con của $\mathbf{G}_l(\mathbf{C}^{2l})$ gồm các không gian con đẳng hướng cực đại đối với dạng song tuyến tính phản xứng thông thường trên $\mathbf{C}^{2l}$.

(iv) G có kiểu $D_l$ và D(H) có kiểu $A_{l-1}$; X đẳng cấu với đa tạp con của $\mathbf{G}_l(\mathbf{C}^{2l})$ gồm các không gian con đẳng hướng cực đại đối với dạng song tuyến tính đối xứng thông thường trên $\mathbf{C}^{2l}$.

(v) G có kiểu $E_6$ và D(H) có kiểu $D_5$.

(vi) G có kiểu $E_7$ và D(H) có kiểu $E_6$. c) Giả sử rằng Card(Z) = 2; cho danh sách các tình huống có thể xảy ra. Nếu G có kiểu $A_l, B_l, C_l$ hoặc $D_l$, chứng minh rằng đa tạp thực $G/H$ đẳng cấu với một đa tạp Grassmann $G_p(K^q)$, với $K =\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}$.