Exercice 11, § 4

On garde les notations des exerc. 9 et 10. a) Pour que l’espace homogène $G/H$ soit symétrique ($§ 1$, exerc. 8), il faut et il suffit que Z soit d’ordre 2 ou de dimension 1. L’espace symétrique $G/H$ est alors irréductible (loc. cit.). b) On suppose $\dim Z = 1$; on note X la variété analytique complexe $G/H$. Montrer qu’on est alors dans l’une des situations suivantes : (i) G est de type $A_l$ et D(H) de type $A_{p-1} \times A_{l-p}$; X est isomorphe à la grassmannienne $G_p(\mathbf{C}^{l+1})$. (ii) G est de type $B_l$ et D(H) de type $B_{l-1}$; X est isomorphe à la sous-variété de $P_{2l}(\mathbf{C})$ définie par l’annulation d’une forme quadratique séparante (quadrique projective lisse). (ii’) G est de type $D_l$ et D(H) de type $D_{l-1}$; X est isomorphe à une quadrique projective lisse dans $P_{2l-1}(\mathbf{C})$. (iii) G est de type $C_l$ et D(H) de type $A_{l-1}$; X est isomorphe à la sous-variété de $G_l(\mathbf{C}^{2l})$ formée des sous-espaces qui sont isotropes maximaux pour la forme bilinéaire alternée usuelle sur $\mathbf{C}^{2l}$. (iv) G est de type $D_l$ et D(H) de type $A_{l-1}$; X est isomorphe à la sous-variété de $G_l(\mathbf{C}^{2l})$ formée des sous-espaces qui sont isotropes maximaux pour la forme bilinéaire symétrique usuelle sur $\mathbf{C}^{2l}$. (v) G est de type $E_6$ et D(H) de type $D_5$. (vi) G est de type $E_7$ et D(H) de type $E_6$. c) On suppose $Card(Z) = 2$; donner la liste des situations possibles. Si G est de type $A_l$, $B_l$, $C_l$ ou $D_l$, montrer que la variété réelle $G/H$ est isomorphe à une variété grassmannienne $G_p(K^q)$, avec $K = \mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$.